意味）
at the drop of a hat
– ためらわずすぐに、深く考えず簡単に

例）
Some corporations sue at the drop of a hat.
（すぐに訴訟を起こす企業もある）
My boss gets angry at the drop of a hat.
（私の上司はちょっとしたことですぐに怒ります）

この熟語は、男性が帽子を被るのが当たり前だった19世紀のアメリカで、帽子を落とすという動作がケンカや闘いの始まりの合図であったことに由来している、という説が有力です。

帽子が落ちたらすぐに闘いを始めなければ当然不利になるわけですから、「（ためらわず・深く考えず）すぐに」のニュアンスになるということです。

上記のように元々は争いに関連した言葉でしたが、今ではそのようなことはなく、

She laughs at the drop of a hat.
（彼女はちょっとしたことですぐに笑います）

…のような使い方をすることも出来るので、様々な場面で役立つ便利な熟語です。

他にも”hat”（帽子）を含む熟語は色々あるので、幾つか一緒にご紹介しておきましょう。

・pass the hat (around)
意味）寄付を募る
例）They’re passing the hat around the company to get money for charity.
（彼らは会社でチャリティーの寄付金を募っている）

・pull something out of a hat
意味）悪い事態を好転させることをする、～を簡単に生み出す・作り出す
例） Where am I going to get the money? I can’t just pull it out of a hat!
（どうやって金を工面しろというんだ？　そんなに簡単には手に入らないぞ！）

・take one’s hat off to someone
意味）～に脱帽する、敬意を払う
例）I take my hat off to her because she manages to juggle three small children and a full-time job.
（彼女は3人の小さな子供がいながらフルタイムの仕事をこなしているので頭が下がる）

“at the drop of a hat”と”hat”の関連表現、ぜひ覚えておいてください。